Meditatii matematica - Calculul unei sume finite la nivel de gimnaziu
Sa se calculeze suma S = 2001 + 2004 + 2007 + ... + 2151
In primul rand, pentru rezolvarea acestei sume vom face un mic artificiu de calcul: este mai greu sa lucrezi cu termeni diferiti atunci cand se insumeaza, de aceea este indicat ca, pe cat posibil, sa se restranga suma respectiva, datorita unor termeni asemenea. Iata si artificiul: vom scrie fiecare termen in functie de primul, observamd ca diferenta intre oricare doi termeni consecutivi este constanta si egala cu trei:
S = 2001 + (2001 + 3) + (2001 + 3 + 3) + (2001 + 3 + 3 + 3) + (2001 + 3 + 3 + 3 + 3) + ... + (2001 + 3 + 3 + ... + 3). De ce NU am scris direct cat face fiecare suma de 3? Pentru ca NU mai aveam termeni asemenea.
Apoi ne intereseaza cate astfel de paranteze avem in suma, pentru a stii, in a n-a paranteza, care este chiar termenul 2151, cati termeni de 3 exista. (presupunem ca sunt n paranteze si deci n+1 termeni, cu termenul 2001, unde fiecare paranteza, repet, reprezinta un termen din suma). De fapt scopul esential este de a vedea cati termeni sunt in total, in suma. O vom lua deductiv:
In prima paranteza este un singur de 3
In a doua paranteza avem doi de 3
In a treia paranteza sunt trei de 3
.........................................
In a n-a paranteza, observam ca sunt n termeni de cifra 3 fiecare, adica n*3.
Deci, in baza acestei deductii, observam ca ultima paranteza se rescrie: 2001 + 3*n. Egaland-o apoi cu ultimul termen din suma, 2151, obtinem:
2001 + 3*n = 2151 => 3*n = 2151 - 2001 = 150 => n = 50. Deci cum am presupus n paranteze, avem 50 astfel de paranteze, si deci 51 de numere in suma, considerand evident al 51-lea termen, numarul 2001.
Fiind 51 de numere, este clar ca avem 25 de perechi si un termen in plus. Va trebui sa aflam care este acela.
Observam ca suma dintre primul si ultimul termen este egala cu cea dintre al doilea si penultimul... Si tot asa. Prin urmare, avem 25 de perechi a cate 4152 fiecare, plus termenul din mijloc. Dar cum aflam acest termen din mijlocul sumei?
Stiind ca suma are 51 de termeni, e clar ca cel din mijloc este al 26-lea. Procedam ca mai sus. Ne orientam in functie de cati de 3 are a 25-a paranteza (termenul din mijloc):
Conform cu ce-am obtinut anterior, in a 25-a paranteza avem 25 de 3, adica termenul dorit va fi 2001 + 25*3 = 2001 + 75 = 2076
Prin urmare, suma devine 25 * 4152 + 2076 = 105876
