Meditatii matematica - demonstratie functii trigonometrice ale jumatatii-de-arc

Pai intai de toate trebuie inlocuit argumentul functiei trigonometrice a jumatatii de arc, cu un altul astfel incat acesta din urma sa NU arate a raport. Si asta pentru ca tocmai, trebuie demonstrata o formula cu argument rational. Deci, fie a/2=t. => a=2*t. Avand aceasta notatie, va trebui doar sa inlocuim argumentul rational al functiilor trigonometrice din (1) si (2), cu cel nou obtinut, si sa verificam relatiile. Avem deci:



Ne uitam in membrul drept din (1). Observam ca el e in functie de a. Prin urmare, pentru a putea reusi sa ajungem sa demonstram o egalitate dintre el si membrul din stanga, trebuie sa inlocuim variabila a cu t. Vom obtine:



NU ne ocupam de |sin t|, intrucat este mai dificil de demonstrat membrul drept, pornind de la acesta, decat invers. Si atunci, lucram cu egalitatea din (3) si o vom aduce la forma membrului din stanga, respectiv |sin t|Putem folosi formula demonstrata anterior: cos(a+b)=cos a *cos b - sin a *sin b, avand pe caz particular b=a. Deci, cos (2*a)= cos a* cos a - sin a* sin a = cos^2 a - sin^2 a. Prin urmare,



Analog se arata pentru (2).