Meditatii matematica - ecuatia de gradul al doilea cu o necunoscuta

Fie a,b si c in RR, a != 0. Spunem ca a* x^2+b*x+c=0 se numeste ecuatia de gradul al doilea in necunoscuta x, cu coeficientii reali a,b si c, a nenul. Fiind o ecuatie, si dand o valoare lui x iar apoi inlocuindu-l in aceasta expresie, vom obtine sau NU, o egalitate. In cazul in care obtinem, vom spune ca acea valoare a lui x verifica ecuatia. Fiind o ecuatie de gradul al doilea, exista maxim trei posibilitati in ceea ce priveste existenta solutiei, sau solutiilor:

Cazul 1. NU exista nici o variabila x, care inlocuita in ecuatia noastra, sa verifice relatia. Atunci spunem ca ecuatia NU admite solutii reale. Cazul 2. Exista o singura solutie reala, pentru care se verifica expresia.
Cazul 3. Exista doua solutii reale, ambele inlocuite pe rand, in ecuatie, verifica respectiva relatie. In cazul in care ecuatia a* x^2 + b*x+c=0 admite doua solutii reale, acestea sunt: x_12=-b/(2*a)`+-`sqrt(b^2 - 4*a*c) /(2*a). A se observa ca avem doua radacini reale, conjugate. Demonstratie? Nimic mai simplu. Inlocuim fiecare rezultat in ecuatia initiala. Daca se verifica relatia, formula calcularii radacinii este buna. Luam:



Analog se arata ca si x=-b/(2*a) - sqrt(b^2 - 4*a*c) /(2*a) este solutie a ecuatiei a* x^2 + b*x + c = 0.
Observatie. Aceste doua solutii pot exista doar daca este indeplinita conditia de existenta a radicalului, respectiv daca b^2 - 4*a*c ≥0 Daca b^2 - 4*a*c = 0, atunci raportul (sqrt(b^2 - 4*a*c))/ (2*a) se anuleaza si vom avea o singura solutie reala, dubla: x=(-b)/(2*a) (Am inlocuit in formula demonstrata) Mai avem un caz si anume cand radicalul NU exista, implicit cand b^2 - 4*a*c < 0. Atunci evident nici formula NU va exista si deci nici NU va exista x care sa fie solutie a ecuatiei noastre.