Meditatii matematica - formula lui heron enunt si demonstratie

Sa se demonstreze formula lui Heron pentru calculul ariei unui triunghi oarecare: Fie ABC un triunghi oarecare, de laturi a,b si c. Atunci aria sa este:
A_delta ABC = sqrt((p)*(p-a)*(p-b)*(p-c)), unde p =(a+b+c)/2    (1) Pai in primul rand, pentru a putea lucra cu aceasta formula, trebuie s-o aducem la o forma cat mai simpla. Intr-un final, membrul drept, respectiv radicalul, dupa restrangere, va trebui comparat cu un rezultat deja cunoscut si demonstrat, tot legat de aria unui triunghi, si in acelasi timp sa contina termenii de sub radical, respectiv a, b si c. De ce? Simplu, pentru a gasi o echivalenta intre aceste doua relatii. Iata si rezultatul deja demonstrat: formula ariei pe caz general: baza ori inaltimea triunghiului supra doi. Pe de o parte se parcurg calculele pornind de la membrul drept din (1), iar apoi se cauta o egalitate cu formula anterioara. Hai mai intai sa calculam membrul drept din (1):



Asta e cea mai scurta forma la care se poate ajunge calculand membrul drept din (1). Acum sa aducem cumva la aceasta forma formula A_Delta ABC = (a*h)/2, unde h = AD este inaltimea triunghiului oarecare ABC, iar a, baza acestuia.
Deci daca aratam ca (a*h)/2 = (2), formula lui Heron este demonstrata.
Dar cum se calculeaza inaltimea h astfel incat ea sa depinda doar de valorile lui a,b sau c? Vom incerca sa explicitam h in cele doua triunghiuri dreptunghice formate: ABD si ADC. Aplicam Teorema lui Pitagora in fiecare caz.Notez latura DC cu x. Avem:
In triunghiul ADC, m(D)=90 grade. Avem ca h^2 = b^2-x^2, cu DC in BC.
In triunghiul ABD, m(D)=90 grade, iar h^2 = c^2 - (a-x)^2, unde a-x = BD.
Cum patratul inaltimii are doua echivalente, acestea din urma vor fi egale intre ele. . Deci:



Ridicand la patrat ultima relatie obtinem:



Q.e.d.