Meditatii matematica - formula radicalilor compusi : enunt si demonstratie
Fie a,b si c numere reale, b≥0. Atunci avem urmatoarea relatie:
Demonstratie. Vom rezolva pe rand cei doi membri ai egalitatii ce trebuie aratate, si vom cauta sa ajungem la un rezultat comun.
Notam sqrt(a+(sqrt(b))) = t, evident t>=0, datorita conditiei de existenta a radicalului. Aceasta relatie este echivalenta cu scrierea patratica
A se observa de aici ca NU este doar implicatie "=>", intrucat daca as incerca sa extrag radicalul din patrat, practic opusa operatiei anterioare, NU ar fi nevoie de functia modul, intrucat valoarea lui t este intotdeauna pozitiva, si deci NU s-ar putea pierde solutii pe drum. Deci avem echivalenta.
Suntem pe membrul drept al egalitatii. Vom proceda la fel, si din nou vom obtine o relatie de echivalenta, intrucat suma acelor doi radicali este pozitiva, pentru ca fiecare in parte e pozitiv, raportul a doi radicali, de asemenea, si adunand doua astfel de rapoarte, rezultatul NU poate fi decat un numar pozitiv. Deci din nou NU este nevoie de modul. Avem:
In continuare, aplicam proprietatea modulul produsului e produsul modulelor si intrucat atat suma cat si diferenta intre a si b se afla radical, ambele operatii vor fi pozitive, si deci, exact la la inceput, NU va mai fi nevoie de modul, in continuare pastrandu-se echivalenta:
(Am aplicat de asemenea proprietatea conform careia radicalul produsului este produsul radicalilor). Vom obtine in sfarsit, impartind prin 4 !=0, ecuatia:
a + sqrt(a^2 - c^2) = s^2.
Folosind apoi ipoteza ce afirma ca c^2 = a^2 - b si avand nevoie de a^2 - c^2 pentru simplificarea scrierii, vom echivala ipoteza cu a^2 - c^2 = b. Si deci avem:
a + sqrt(b) = s^2
Dar noi am aflat ca a + sqrt(b) = t^2 . Prin urmare cele doua valori coincid:
t^2 = s^2.
De aici NU se deduce t=s, intrucat se pot pierde solutii pe drum, ca si la implicatia reciproca, de la ridicare la patrat, la extragerea radacinii !
Avem deci (t-s)*(t+s) = 0 <=> t=s sau t=-s. Dar cum t>0 si s>0, un numar pozitiv NU poate fi egalat cu altul negativ, deci aceasta solutie cade. Ramane singura valabia t=s.
q.e.d.
