Meditatii matematica - logaritmi : exercitii si proprietati demonstrate
Sa se verifice daca pentru numerele a = log_12 18 si b = log_24 54, avem a*b + 5*(a-b) = 1.
In primul rand observam ca aveam o ecuatie in doua variabile, a si b. Exercitiul de fapt cere a verifica daca cele doua valori ale
acestor variabile verifica acea ecuatie. In caz negativ, ele NU vor fi solutii.
Pentru a verifica relatia ceruta, e nevoie sa calculam niste termeni din ea. Voi incepe cu a afla ce inseamna a-b, pentru valorile date din ipoteza. Pentru asta, avem nevoie de cateva proprietati ale logaritmilor: schimbarea bazei, puterea exponentului "iese in fata logaritmului", logaritmul raportului este diferenta logaritmilor, si logaritmul produsului este suma logaritmilor. Prima este necesara si obligatorie daca se doreste a se aplica a treia.
Deci sa le demonstram mai intai pe fiecare in parte, si apoi vom continua exercitiul.
Demonstratie. Prin definitie, avem ca:
Avem nevoie sa obtinem niste diferente, lucru care se poate obtine foarte usor facand raportul acelor puteri:
De aici, putem logaritma in baxa X si obtinem
log_X X^(T-U) = log_X A/B.
Ce frumos ar fi daca am putea scoate acea putere de la exponentul logaritmului...Pentru asta exista urmatoarea proprietate:
Ea se demonstreaza asa:
log_A X = T <=> A^T = X.
De aici, daca ridicam la puterea B egalitatea data (pentru ca avem nevoie de "ceva" la puterea B, in membrul stang) obtinem:
x^B = (A^T)^B = A^(T*B)
Mai departe, ne uitam tot la membrul stang si observam ca el trebuie sa contina un logaritm in baza A. Deci, vom logaritma intreaga expresie (putem face asta, intrucat A = B <=> log_X A = log_X B) obtinand
log_A X^B = log_A A^(T*B) = T*B (pentru ca log_A A^B = B,
vizibil evident daca se aplica definitia). Prin urmare,
log_A X^B = log_A X * B.
q.e.d.
Intorcandu-ne la logaritmul raportului, si folosind aceasta din urma proprietate, putem continua calculul log_X X^(T-U) = log_X A/B, cu
q.e.d.
Pentru a rezolva exercitiul mai este nevoie de o proprietate, cea referitoare la produs. Nu de alta dar exponentul celui de-al doilea logaritm poate determina, prin calcul, un logaritm similar cu primul. Acel exponent este 3*18. Si proprietatea suna asa:
Demonstratie. Folosim un stil de lucru similar celui din raportul logaritmului. Aceasta proprietate se va demonstra putin mai usor. Notam log_X A = S, log_X B = T, avand X^S = A si X^T = B. Avand nevoie de o suma de logaritm, putem determina o suma, la exponenti, prin inmultirea celor doua puteri, tinand cont de notatii: X^S * X^T = AB => X^(S+T) = AB. De aici mai departe putem logaritma in baza X, pentru a obtine relatia dorita: log_X X^(S+T) = log_X (AB). Folosind apoi o proprietate anterioara care scotea puterea exponentului in fata logaritmului, obtinem (S+T)log_X X = log_X (AB) <=> S+T = log_X (AB). Si inlocuind notatiile: log_X A + log_X B = log_X (AB)
q.e.d.
Revenim la cealalta proprietate, schimbarea bazei. Ea spune asa:
Demonstratie.
log_A B = X , log_C B = Y, log_C A = Z <=> A^X = B, C^Y = B, C^Z = A.
(pe baza definitiei.)De aici,
C^Y / A^X = B/B = 1 => A^X = C^Y .
De aici, putem logaritma expresia in baza C, obtinand:
log_C A^X = log_C C^Y <=> X*log_C A = Y
(Am folosit proprietatea anterioara ). Mai departe, inlocuind notatiile, avem:
log_A B * log_C A = log_C B => log_A B = ( log_C B )/(log_C A) .
q.e.d.
Acestea fiind zise, putem incepe rezolvarea exercitiului.
A arata ca
a*b + 5*(a - b) = 1, este tot una cu a arata ca a*b = 1 - 5*(a - b),
din pricina echivalentelor logice. Si cum am aflat adineauri ca, in baza ipotezei,
5*(a - b) = 5/2 * log_12 6,
putem inlocui aici, si practic va trebui aratat doar ca
a*b = 1 - 5/2 * log_12 6, sau, altfel scris
Deci am de aratat, in cele din urma, doar ca
Folosind mai departe rezultatul obtinut de la diferenta a-b, si ipoteza ca a = log_12 18, vom avea practic de demonstrat doar ca a*b = (a - b) - a <=>
a*b = -b <=> a= -1. Lucru care ar fi imposibil de aratat, intrucat a = log_12 18.
Concluzie: valorile lui a si b din ipoteza NU verifica ecuatia ceruta.
