meditatii matematica

Meditatii matematica - sisteme de ecuatii: metoda reducerii

Una din cele 3 metode de rezolvare a sistemelor de ecuatii de gradul 1 cu doua necunoscute, este metoda reducerii. Cum arata ea? Simplu. Ai doua ecuatii in doua variabile, sa zicem x si y, pe care le scrii una sub alta, ordonate. Cum? Reducem mai intai termenii asemenea din fiecare ecuatie, urmand sa avem doar 3, la fiecare astfel de ecuatie: vom avea un termen care sa contina pe x, altul, pe y, iar al treilea, este chiar termenul liber. Si asta se va intampla la fiecare ecuatie. Nu ai termeni asemenea, nu ai ce sa reduci si ignori pur si simplu acest pas.

Bun. Te uiti in prima ecuatie si asezi termenul cu x pe prima pozitie, cel care-l contine pe y, in a doua pozitie, (dupa semnul aritmetic dintre ele), iar termenul liber, in dreapta egalului. La fel vei face si cu a doua ecuatie. Exemplu: ai  ecuatiile 8x+2y+3x+y+x-6=0 si 3y+2y-28x-8=0. A le scrie ordonat, inseamna a reduce mai intai termenii asemenea din prima ecuatie, obtinand 12x+3y-6=0, si din a doua ecuatie, obtinand 5y-28x-8=0.

Conform cu ce am zis mai sus, rearanjam ecuatiile astfel ca fiecare in parte sa contina termeni, in aceasta ordine: termenul cu x, cel cu y si termenul liber. Pozitiile termenilor(pentru prima ecuatie, respectiv a doua) sunt: prima pozitie: 12x si -28x, a doua: 3y si 5y, iar a treia pozitie, 6 si 8. Cele doua ecuatii ordonate vor arata astfel: 12x+3y=6 si -28x+5y=8. De ce se cere aceasta ordine? Pt a putea scadea mai usor cele doua ecuatii, fara a se gresi la calcule.

Pasul al doilea in rezolvarea sistemului propriu-zis este urmatorul: dupa ce am ordonat ecuatiile dupa variabilele x si y, vom cauta sa reducem una din cele doua variable, pentru a o afla pe cealalta.. Cum facem asta?  Sa presupunem ca vrem sa aflam necunoscuta y.  Ne orientam asupra coeficientilor lui x din ambele ecuatii. Calculam cel mai mic multiplu comun al acestor coeficienti, apoi acest c.m.m.m.c il impartim pe rand, la coeficientul lui x din prima ecuatie, apoi la cel din a doua.. Cu rezultatul primei impartiri vom inmulti prima ecuatie.  Analog pentru a doua ecuatie.

Ce inseamna a inmulti o ecuatie cu un numar? Inseamna a inmulti fiecare coeficient al fiecarei variabile, inclusiv termenul liber, cu acel numar. Exemplu: 3x+2y=6. Inmultind ecuatia cu 4, obtinem 3x*4 + 2y*4 = 6*4, adica 12x+8y=24.

 Pe exemplul nostru,  cel mai mic multiplu comun al coeficientilor lui x, (acestia fiind 12 respectiv 28), este 84. Conform cu algoritmul, impartim  84 la  coeficientul lui x din ecuatia 12x+3y=6, si obtinem 84:12=7. Apoi impartim 84 la coeficientul lui x din a doua ecuatie, -28x+5y=8, si obtinem 84:28=3. Apoi vom inmulti rezultatul primei impartiri, adica 7, cu toata ecuatia 12x+3y=6 si obtinem: 12x*7 +3y*7 = 6*7 , adica 84x+21y=42. Dupa aceea, inmultim rezultatul celei de-a doua impartiri, adica 3, cu toata ecuatia -28x+5y=8. si obtinem: -28x*3 + 5y*3 = 8*3, adica -84x+15y=24.

Inainte de a trece la pasul urmator, vom avea nevoie de o notiune, numita diferenta (suma)a doua ecuatii.

Ce inseamna a scadea o ecuatie din alta? Inseamna a scadea membrii de acelasi tip intre ei, adica cei cu x, cu y si constantele, si apoi se aduna (fara a se incerca sa se reduca!)rezultatele obtinute (numai cele din stanga egalului! ), pastrandu-se evident semnul egalului. De aceea se si prefera a se scrie ordonat. Exemplu: 2x-3y=4 si 3x+4y=5, scazand a doua ecuatie din prima obtinem: ( 2x-3x ) + ( -3y-4y ) = ( 4-5 ).

Pasul urmator:  vom scadea ecuatiile astfel:  reducem termenii cu x, intrucat ambii coeficienti ai sai sunt identici, apoi facem diferenta intre coeficientii cu y, iar apoi intre termenii liberi.  Reducandu-se termenii cu x, vom avea o singura variabila, si anume cea in y, obtinuta dupa efectuarea diferentei  intre coeficientii lui y. Pe exemplul nostru, avem: 84x - 84x care se reduc, 21y + 15y = 36y, iar 42 + 54 =96. Pastrand ordinea scrierii, inclusiv a semnului "=" egal, avem ca 36y=96 => y = 96/36.

La fel se procedeaza si pentru aflarea lui x.

Page copy protected against web site content infringement by Copyscape

Valid CSS!