Meditatii matematica - teorema medianei : enunt si demonstratie

Sa se arate ca intr-un triunghi oarecare de laturi A,B, si C, cu AM mediana pe latura BC si AB = c, AC = b, BC = a si m_a = AM,



Demonstratie. Observam ca in relatia care trebuie demonstrata, avem nevoie de laturile b, c si m_a. Putem obtine o legatura intre ele, ducand AD = x, inaltime pe latura BC, AD _|_ BC, si explicitand-o, cu Teorema lui Pitagora, in functie de celelalte laturi: b,c si a_m. Voi mai nota BD = y, MD = z si CD = w. Avem:



Daca scadem intre ele ultimele doua relatii obtinem :



Daca le scadem pe primele doua, vom obtine :



In relatia (1), singura necunoscuta care NU are ce cauta in relatia dorita este diferenta z-y. Aceasta se poate scoate din (2), asa:



Si apoi o vom inlocui in (1):



Si inmultind cu 2 ultima expresie, obtinem in sfarsit, expresia dorita:



q.e.d.